Prof. Rudolf Gorenflo

Ort
Konrad-Zuse-Zentrum (ZIB)
Seminarraum 2006
Takustr. 7
14195 Berlin

Zeit
15. Januar 2007
17.15 Uhr

Abstract

Der Zungenbrecher “Fraktionäre Infinitesimalrechnung” ist das Ergebnis meiner Versuche, den gängigen englischsprachigen Terminus “fractional calculus” ins Deutsche zu übersetzen. Inhaltlich geht es um eine Frage, die schon im Jahre 1695 zwischen dem Marquis de l’Hôpital, Gottfried Wilhelm Leibniz und Johann Bernoulli erörtert wurde, nämlich ob in dem Ausdruck für die Ordnung n auch eine beliebige nichtganze positive Zahl sinnvoll ist. Später war auch Leonhard Eulers Interesse von dieser Frage fasziniert. Im Laufe des 19. Jahrhunderts wurden die frühen heuristischen Ideen gesichert, zu nennen sind hier vor allem Abel, Riemann, Liouville, Grünwald und Letnikov, im 20. Jahrhundert auch Hermann Weyl, und inzwischen unterscheidet man verschiedene Typen von Ableitungen und Integralen nichtganzzahliger Ordnung. Und mit funktionalanalytischen Methoden kennt man weitreichende Verallgemeinerungen.

Im Vortrag stelle ich die ursprünglichen Ideen und einige gegenwärtige Formalisierungen vor, ferner die grundlegenden Zusammenhänge zwischen fraktionären Integralen und fraktionären Ableitungen. Dies ermöglicht einen transparenten Nachvollzug von Abels Methode zur Lösung seiner berühmten Integralgleichung. Anschließend bespreche ich fraktionäre Verallgemeinerungen der klassischen Relaxationsgleichung und der klassischen Schwingungsgleichung und einige andere fraktionäre Differentialgleichungen, die in den letzten Jahrzehnten bei Anwendern auf wachsendes Interesse gestoßen sind. Schließlich deute ich an, wie auch die klassische Diffusionsgleichung in Raum und Zeit fraktionär verallgemeinert werden kann und wie Methoden des “fractional calculus” in der Theorie der anomalen Diffusion Bedeutung gewonnen haben. Als wesentliche analytische Hilfsmittel erweisen sich die Transformationen von Laplace und Fourier. Eine prominente Rolle spielen die Mittag-Leffler-Funktionen.

Kleine Literaturauswahl:

1. R. Gorenflo and F. Mainardi: Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order. In: A. Carpinteri and F. Mainardi (editors): Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, pp 223 - 276, Springer-Verlag, Wien, 1997. [Reprinted in http://www.fracalmo.org].
2. R. Gorenflo an S. Vessella: Abel Integral Equations: Analysis and Applications. Springer- Verlag, Berlin, 1991. Lecture Notes in Mathematics 1461.
3. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo: Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam, 2006.
4. K. S. Miller and B. Ross: An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. John Wiley & Sons, New York etc., 1993.
5. I. Podlubny: Fractional Differential Equations. Academic Press, san Diego, 1999.
6. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. Gordon and Breach, Switzerland etc. 1993 (translated from the Russian edition, Nauka i Tekhnika, Minsk, 1987).