Prof. Gerhard Preuß

Ort
Fachbereich Mathematik und Informatik
Freie Universität Berlin
Kolloquiumsraum 108/109
Arnimallee 3
14195 Berlin

Zeit
22. Juni 2006
17.15 Uhr

Abstract

Dass jede stetige (reellwertige) Funktion auf einem kompakten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann, hat K. Weierstraß 1885 bewiesen. Dieser sogenannte Weierstraß’sche Approximationssatz hat in der Folgezeit mannigfache Verallgemeinerungen erfahren, von denen die Variante von M. H. Stone aus dem Jahre 1937 – unter dem Namen “Satz von Stone-Weierstraß“ – wohl die bekannteste ist. Letztendlich geht es um die Frage nach der Dichtheit von Funktionenmengen, speziell um die Dichtheit von Unteralgebren geeigneter Funktionenalgebren. Der Definitionsbereich der Elemente der zu untersuchenden Funktionenalgebra ist im Falle des Satzes von Stone-Weierstraß ein kompakter Hausdorff-Raum. Erst im Jahre 2000 ist es einigen Autoren gemeinsam gelungen als Definitionsbereich eine beliebige Menge X zu nehmen, um eine Verallgemeinerung des Weierstraß’schen Approximationssatzes zu erzielen. Da es neben Topologien auf X mittlerweile andere interessante Strukturen auf Mengen gibt, die im Rahmen neuerer Untersuchungen bei Funktionenräumen von Interesse geworden sind, kann man X auch damit versehen, um weitere Sätze vom Stone-Weierstraß-Typ zu erhalten, wobei zuletzt erst 2005 ein solcher neuer Satz erhalten worden ist. Schließlich werden die Beziehungen dieser neuen Sätze zueinander untersucht. Dabei kommt es zu einem verblüffenden Resultat.